3. LOS TEOREMAS EN MATEMÁTICA - PARTE 1

1. Una conjetura que duró casi 300 años

En las diversas ramas de la ciencia, los nuevos avances se comunican a través de publicaciones o papers. Una publicación puede ser más o menos extensa, de acuerdo a la profundidad y complejidad del tema. En 1966 se dio a conocer una famosa publicación matemática, conocida como por ser la más breve:

La traducción del texto anterior (¡de apenas cinco líneas!) es la siguiente:

Contraejemplo de la conjetura de Euler sobre la suma de potencias iguales.

por L.J. Lander y T.R. Parkin

Comunicado por J. D. Swift, Junio 27, 1966.

Una búsqueda directa en el CDC 6600(*) produjo

$27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5$

como el menor ejemplo en el cual cuatro potencias quintas suman una potencia quinta. Esto es un contraejemplo de la conjetura de Euler [1] que establece que al menos $n$ potencias $n$ -ésimas se requieren para sumar una $n$ -ésima potencia, $n > 2$ .

Referencia

[1] L.E. Dickson, History of the theory of numbers, Vol. 2, Chelsea, New York, 1952, p. 648

(*) Esta fue una de las primeras supercomputadoras de la historia. (https://es.wikipedia.org/wiki/CDC_6600)

¿Qué dice dicha publicación? En 1769 el matemático suizo Leonhard Euler hizo la siguiente conjetura:

Se requieren al menos

$n$ potencias

$n$ -ésimas para sumar una

$n$ -ésima potencia, para

$n > 2$ .

Veamos un ejemplo con $n = 3$ . Si se quiere obtener $4^3$ como suma de otros cubos, son necesarios al menos $5$ cubos (no lo mostraremos aquí, pero se puede ver agotando las combinaciones entre cubos menores a $4^3$ ), ya que:

$4^3 = 3^3 + 3^3 + 2^3 + 1^3 + 1^3$

¿Qué es una conjetura? Es una afirmación que se sospecha verdadera, pero de la que aún no se tiene una prueba completa de su validez. Si una conjetura se demuestra verdadera, se la llamará teorema (o lema, o proposición, de acuerdo a su importancia). En cambio, basta un solo contraejemplo, para derribar la conjetura. La publicación de 1966 muestra precisamente un contraejemplo -que Euler no pudo hallar- obtenido mediante una supercomputadora de la época. Allí se muestra que una potencia quinta se puede obtener como suma de cuatro potencias quintas (y la conjetura decía que se debía necesitar por lo menos cinco).