1. LA LECTURA DE TEXTOS EN MATEMÁTICA

1.1 ¿Qué es la matemática?

La matemática es una ciencia que estudia propiedades entre elementos o estructuras abstractas con el fin de clasificarlas, relacionarlas y desarrollar modelos teóricos y fórmulas. Existen varias ramas o disciplinas de esta ciencia, cada una enfocada en estudiar problemas de distinta índole; entre las más conocidas podemos nombrar al álgebra, el análisis matemático y la geometría. El álgebra, por ejemplo, es la rama de la matemática que estudia la operaciones entre elementos de estructuras abstractas, como los conjuntos numéricos y espacios de vectores. Por otro lado, el análisis matemático se encarga principalmente del estudio de las funciones que pueden definirse entre números reales (o, más en general, entre puntos con varias coordenadas de números reales). Como su nombre lo indica, esta disciplina fue desarrollada para analizar modelos surgidos de observaciones y extraer resultados sobre el fenómeno estudiado. Finalmente, la geometría es la rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras, típicamente en el plano o el espacio.

1.2 ¿Cómo se comunica en matemática?

Al igual que cualquier otra ciencia, la matemática posee un lenguaje particular con el que uno debe familiarizarse. Sobre cada área de esta ciencia se desarrollan teorías, que son “compendios” de información sobre los objetos estudiados (tipos de objetos, propiedades, clasificación, fórmulas, etc.). Esta información es la que presentan los textos matemáticos. Pero, ¿cómo lo hacen? ¿Cómo es comunicada esta información?

La manera de comunicar teorías es por medio de proposiciones. Una proposición es una afirmación de la cual puede decirse que es verdadera o falsa, pero no ambas cosas al mismo tiempo. Además, una de las dos opciones debe cumplirse: si una proposición no es verdadera, entonces debe ser falsa.

Por ejemplo, la frase “La casa” no es una proposición, pero “La casa es roja” sí. También, escribir $2$ no es una proposición, pero escribir “$2$ es un número negativo” sí lo es (en este caso, la proposición es falsa).

Una proposición puede contener una o más letras que representan variables. Por ejemplo, escribir

$x$ es un número positivo

es una proposición que será verdadera o falsa dependiendo del valor que tome la variable $x$. Las variables aparecen generalmente en implicaciones para hacer afirmaciones sobre conjuntos o propiedades generales.

Otros ejemplos:

1. Si $x=y$ entonces $x - y = 0$
2. Si $\theta_1, \theta_2$ y $\theta_3$ son los ángulos interiores de un triángulo, entonces $\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = \pi$

En muchas proposiciones que aparecen en matemática es necesario afirmar que todo elemento de un dado conjunto tiene una propiedad o que existe algún elemento que cumple tal otra. Para poder construir estas proposiciones se utilizan dos cuantificadores. El cuantificador “para todo” se simboliza con $\forall$ y se lo utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una propiedad determinada. Por ejemplo,

Para todo número natural $x$ se verifica que $2x$ es par.

puede escribirse como

$\forall x$ natural, $2x$ es par.

Por otro lado, el cuantificador “existe” se simboliza con $\exists$ y se lo utiliza para indicar que existe por lo menos un elemento de un conjunto que cumple con una propiedad determinada. Por ejemplo:

Existe un número par que es primo.

puede escribirse

$\exists x$ par tal que $x$ es primo.

Dependiendo del autor del texto, los cuantificadores aparecerán en forma de símbolo $\forall, \exists$ o en forma coloquial (“para todo”, “existe”). También, muchas veces encontraremos el “para todo” reemplazado por “para cada”.

Muchas veces necesitamos hacer afirmaciones del estilo: “si está lloviendo entonces el patio está mojado”. Estas afirmaciones están compuestas por las dos proposiciones “está lloviendo” y “el patio está mojado” y tiene la estructura  “si esta proposición fuera verdadera entonces esta otra proposición sería verdadera”. En el ejemplo anterior: “si está lloviendo entonces el patio está mojado”.  Este tipo de proposiciones se llaman implicaciones. 

Por ejemplo:

Si $x$ es un número impar entonces $(x - 1)(x + 1)$ es divisible por 4.

está compuesta por las proposiciones

"$x$ es un número impar" y "$(x - 1)(x + 1)$ es divisible por 4." .

Muchas veces las implicaciones no aparecen escritas en el formato “si … entonces ...”; por ejemplo, la implicación anterior puede aparecer escrita de las siguientes maneras equivalentes:

• $(x - 1)(x + 1)$ es divisible por 4 si $x$ es un número impar
  
• Si $x$ es un número impar, $(x - 1)(x + 1)$ es divisible por 4.
• Para todo número impar $x$, $(x - 1)(x + 1)$ resulta divisible por 4

1.3 Algunos ejemplos

Fuente: Muszkats, J.P. y Pustilnik, I. 2017

1.4 Los símbolos en los textos matemáticos

Como mencionamos al comienzo, cada rama de la matemática tiene su objeto de estudio específico: el álgebra estudia operaciones en estructuras abstractas, el análisis las propiedades de las funciones reales y la geometría las propiedades de las figuras. Cada elemento, operación o característica de los objetos de estudio en las teorías de estas disciplinas se escribe de una manera particular que involucra ciertos símbolos específicos. La matemática está repleta de símbolos necesarios para expresar relaciones y fórmulas entre elementos en general.

Observemos los siguientes ejemplos:

Cada teoría tiene sus propia simbología, y los símbolos que la componen serán presentados oportunamente a medida que sea necesario utilizarlos. Muchas veces no existe un consenso de qué símbolo le corresponde a cada objeto, operación o relación, y se utilizan diversos símbolos para representar el mismo concepto. Por ejemplo, la función derivada de una función real con variable $x$ suele notarse tanto como $f'(x)$ como $\frac{df}{dx}$.

También, las proposiciones estarán enunciadas utilizando la simbología de la teoría correspondiente. Por ejemplo, la proposición $2$ es un número positivo será escrita $2 > 0$.

1.5 El lenguaje coloquial de la matemática

A medida que leamos más y más textos matemáticos, vamos a notar que hay ciertas expresiones que aparecen constantemente en el mismo. Hay ciertos modismos verbales que los matemáticos usan de manera consistente y constante.

Por ejemplo, si el autor quiere que el lector considere un número entero positivo genérico $n$, suele escribir:

Sea $n$ un número entero positivo.

También, si desea definir un conjunto o elemento por medio de una propiedad que este posea, suele utilizarse el “tal que”. Por ejemplo:

Sea G el conjunto de los complejos $z$ tales que $z^4 = 1$.

Este tipo de expresiones, que se utilizan también en el lenguaje verbal cotidiano de la matemática, serán incorporados de manera natural a medida que transiten las distintas materias de la disciplina.

2.1 Cómo se argumenta en matemática

¿Cómo saber cuál proposición es verdadera y cuál no? Nosotros no tenemos problema en afirmar que $2$ es menor que $3$, y sabemos que es falso que $-5$ es un número positivo. Pero, ¿por qué? La matemática está construida en base a ciertos axiomas que son “verdades universales” que todos creemos y no se discuten, y cualquier cosa que sea verdadera debe deducirse a partir de esos axiomas. Esta es la manera de determinar si una proposición es o no verdadera. Pero ¿qué significa “deducir”? La deducción es un procedimiento formal con reglas preestablecidas por medio del cual uno obtiene conclusiones a partir de axiomas, supuestos o hipótesis. Es decir, una persona realiza una serie de razonamientos coherentes a partir de lo que sabe para obtener nuevas proposiciones verdaderas. Cada vez que en un texto matemático se afirma la veracidad de una proposición, debe llevarse a cabo la deducción que la valida. Estas deducciones se llaman demostraciones.

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2.2 Tipos de proposiciones

En matemática, habitualmente se utilizan distintos tipos de proposiciones: proposiciones directas, implicaciones, dobles implicaciones o equivalencias y resultados de existencia.

No es importante saber de qué tipo es una proposición; solo es importante entender qué es lo que afirma la proposición y cómo se plantea una posible demostración.

Veamos algunos ejemplos de proposiciones y sus demostraciones.

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2.3 Ejemplos de proposiciones

• Teorema 1 (Fuente: Apostol, 1960)
• Teorema 2 (Fuente: Muszkats, J.P. y Pustilnik, I., 2017)
• Teorema 3
• Teorema 4 (Fuente: Marsden, J. y Tromba, A., 1991)

Cabe aclarar que la clasificación de proposiciones no es exhaustiva ni tiene fronteras taxativas, es decir, dada una proposición es difícil si pertenece a una u otra categoría. Por ejemplo, el teorema 4 puede ser considerado una proposición directa o un resultado de existencia.

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2.4 Otro ejemplo

Cabe aclarar que, una vez que una proposición se ha demostrado, entonces pasa a ser parte de la teoría y puede utilizarse en futuras demostraciones. Las proposiciones demostradas suelen llamarse también resultados.

Muchas veces, las demostraciones están contenidas en un párrafo explicativo previo al enunciado. Por ejemplo:

Fuente: Muszkats, J.P. y Pustilnik, I., 2017.

La matemática es una ciencia que estudia propiedades entre elementos o estructuras abstractas con el fin de clasificarlas, relacionarlas y desarrollar modelos teóricos y fórmulas. Existen varias ramas de esta ciencia: álgebra, análisis matemático, geometría, etc. Sobre cada área se desarrollan teorías (compendios de información sobre los objetos estudiados) y esta información es la que se presenta en los textos matemáticos.

La manera de comunicar teorías es por medio de proposiciones. Las proposiciones son afirmaciones de las cuales puede decirse que son verdaderas o falsas, pero no ambas cosas al mismo tiempo. Además, una de las dos opciones debe cumplirse: si una proposición no es verdadera, entonces es falsa. Por ejemplo, "la casa es roja" es un proposición; pero "la casa roja", no. Una proposición puede contener una o más letras que representan variables, como "$x$ es un número positivo", y cuantificadores, como "Para todo número natural $x$ resulta que $2x$ es par" o "Existe un número par que es primo". Un tipo especial de proposiciones son las implicaciones, que se construyen a partir de otras dos proposiciones de la siguiente forma "si la primera proposición es verdadera entonces la segunda proposición también lo sería". Por ejemplo, "si está lloviendo entonces el patio está mojado". En general, las proposiciones van a estar compuestas por símbolos matemáticos (cada rama de la matemática tiene su simbología específica).

La matemática está construída en base a verdades universales llamados axiomas y cualquier proposición que se afirma es verdadera debe deducirse de dichos axiomas. Es decir que debe estar justificada por una serie de razonamientos coherentes a partir de los axiomas para concluir que la proposición es efectivamente verdadera. Dichas deducciones se llaman demostraciones y, cuando una proposición es demostrada como verdadera, se la suele llamar resultado. Los resultados son proposiciones de distintos tipos; a saber: 

• Proposiciones directas

• Implicaciones

• Dobles implicaciones o equivalencias

• Resultados de existencia

Los textos de matemática están organizados de una manera estructurada. Se encuentran divididos en capítulos específicos, abarcativos y correlativos. Cada capítulo está convenientemente dividido en secciones. Dentro de las secciones nos encontraremos con distintos tipos de textos: 

• Párrafos explicativos, donde se desarrollan las ideas que el texto quiere transmitir.

• Definiciones, donde se introducen de manera precisa los tipos de elementos necesarios para el desarrollo de los conceptos de la teoría.

• Enunciados de resultados, que aparecen en distintos formatos dependiendo el resultado: teorema, proposición, lema, corolario.

• Ejemplos, que sirven para ejemplificar o motivar la teoría estudiada.

• Ejercicios, que constan de un conjunto de problemas que se espera que el lector resuelva por su cuenta.

• Notas u observaciones, que son comentarios sobre la teoría donde se profundiza algún tema tratado o se remarcan ciertas características del mismo.

Algunos consejos finales

La matemática está compuesta de conceptos abstractos y, muchas veces, poco naturales para el que los estudia por primera vez. Es importante que cada uno se tome el tiempo necesario para poder comprenderlos.  Además, la matemática no puede aprenderse sólo leyendo. Quien estudia debe intentar resolver los ejercicios propuestos por su cuenta y, aunque en muchas ocasiones no lo logre, el aprendizaje que deja haberlo intentado es irremplazable. Al intentar resolver un ejercicio se profundiza en el entendimiento de la teoría, se reconocen las herramientas se tienen a disposición y se desarrollan estrategias para sortear el problema propuesto.

También es importante leer el prólogo (si lo hubiera) de los textos de matemática ya que allí podemos enterarnos tempranamente sobre el alcance, los requerimientos y los objetivos del mismo, y decidir si el texto nos será de utilidad. Además, cada autor tiene su propio estilo para explicar las ideas, motivar la teoría, desarrollar los ejemplos y decidir el orden en el que serán presentados los contenidos.