2. LAS DEFINICIONES EN MATEMÁTICA

Durante el transcurso de la escuela secundaria, la enseñanza de funciones ocupa un lugar central en las clases de matemática. Un libro que suele ser utilizado para la enseñanza de estos contenidos en la universidad es Cálculo diferencial e integral, de N. Piskunov. Veamos qué nos dice este texto acerca de las funciones:

Fuente: Piskunov, N. (1980)

En la página 14 hay un título conocido: “Función”. El texto empieza con una introducción, un ejemplo, y luego aparecen dos pequeños apartados titulados “Definición 1” y “Definición 2”. Al leerlas con atención veremos que en la primera definición se explica qué se entiende por variable independiente, variable dependiente y relación funcional. En la segunda, se define qué es el dominio de una función.

¿Qué rol juegan las definiciones en la matemática? Las definiciones son secciones en las que se introducen de manera precisa los objetos, operaciones o cualquier otro tipo de elementos necesarios para el desarrollo de los conceptos de la teoría. En matemática es importante tener bien determinados los objetos para que no haya ambigüedades. Estas secciones en general están anunciadas (con la palabra “Definición”) o recuadradas. A partir de una definición podemos evaluar si un objeto cumple o no con ella, y decidir si ese objeto puede o no ser llamado con el nombre dado en la definición.

De acuerdo a la definición de función podemos decir, por ejemplo, que la relación $y = x^2 - 9$ es una relación funcional entre las variables $x$ e $y$, y que la variable independiente es $x$, en tanto que la dependiente es $y$, ya que para cada valor de $x$ se determina, con la fórmula, un único valor de $y$. Del mismo modo, la relación $x^2 = 4y^2$, no es una relación funcional entre $x$ e $y$, pues a cada valor de $x$ no corresponde solo un valor de $y$. Por ejemplo, para $x = 10$, la ecuación se satisface con $y = 5$ ó $y = -5$ porque $4 \cdot 5^2 = 4 \cdot (-5)^2 = 100$. ¿Será una relación funcional entre $y$ y $x$? Tampoco, ya que para $y = 5$, podremos tomar tanto $x = 10$ como $x = -10$.

En esta sección vamos a analizar algunos tipos de definiciones que son frecuentes tanto en los textos que se utilizan en los últimos años de la escuela secundaria como en los primeros años de la universidad. 

2.1 Definiciones con cuantificadores

En algunas definiciones aparecen cuantificadores, en tanto que en otras no (o al menos, no explícitamente). Veamos un ejemplo:

Vemos que aquí aparece un cuantificador: “existe algún”. Tratemos de comprender cómo funciona esta condición de existencia a partir de algunos ejemplos:

• ¿Será par, a partir de la definición, el número $14$?
• ¿El $11$ es par? ¿Y el $-12$?
• ¿Podemos considerar que el $2,5$ es par?

Como $14 = 2 \cdot 7$, concluimos que es par, ya que existe un entero, $7$, que al multiplicarse por $2$, da $14$.

Para el $11$, no existe un valor de $k$ tal que $11 = 2k$ (dejamos al lector convencerse de su inexistencia).

El entero negativo $-12$ es par, ya que al tomar $k = -6$, se cumple la condición de paridad.

Por último, $2,5$ no es par. ¿Por qué? Porque no cumple la premisa inicial: “todo número entero $n$ ...”; es decir, como $2,5$ no es entero, no se puede aplicar la definición a dicho número.

Tenemos también definiciones que no tienen cuantificadores. Veamos algunos ejemplos.

2.2 Definiciones sin cuantificadores

Lo primero que notamos en este libro de geometría, Geometría elemental, de Pogorelov, es que las definiciones no están señaladas como antes; en este caso se encuentran dentro del propio texto y detectarlas está a cargo de quien lee.

Buscá en el texto las definiciones de rectángulo, rombo y cuadrado

En este caso las tres definiciones planteadas no tienen cuantificadores; simplemente enuncian una propiedad que deben cumplir los objetos para recibir el nombre dado en la definición. En el caso del rectángulo, por ejemplo, sus cuatro ángulos deben ser rectos. También es interesante notar que la definición de cuadrado involucra a la definición de rectángulo, por lo que todo cuadrado es a su vez un rectángulo. Es decir, tenemos que un tipo de objeto puede estar incluido dentro de otro tipo de objeto.

2.3 Definiciones equivalentes
Algunas definiciones pueden darse de maneras diferentes (en algunos casos, ¡muy diferentes!) pero de forma tal que queden definidos exactamente los mismos objetos. En ese caso se habla de definiciones equivalentes. Un ejemplo sencillo es definir a los números pares de la siguiente manera:

Claramente, no es la misma definición que la enunciada anteriormente, ya que esta nueva definición no involucra la existencia de otro número y se refiere a la operación de división entera, en lugar de la multiplicación. Sin embargo, todo número que cumpla con la primera definición cumple con esta nueva definición, y todo número que cumpla con la definición de resto cero cumplirá con la primera. Veamos la demostración:

Si $n$ se puede escribir como $2k$, es decir, $n = 2k$, tenemos que:

es decir, el resto es cero.

Al revés, si el resto de dividir a $n$ por $2$ fuera cero, tenemos que $n$ debe escribirse como producto del divisor por el cociente más el resto ($2$ es el divisor, $k$ el cociente, $0$ el resto), es decir $n = 2k + 0$, o equivalentemente, $n = 2k$.

Por ende, se trata de definiciones equivalentes.

2.4 Definiciones “difíciles”

Existen algunas definiciones para las cuales resulta difícil (a veces, ¡muy difícil!) decidir si un objeto matemático las cumple o no. Veamos la siguiente definición:

Por ejemplo, el número $\sqrt{2}$ cumple con esta definición. Para poder ver que dicho número es irracional es necesario demostrar que no existe ninguna fracción $\frac{p}{q}$ que elevada al cuadrado dé como resultado 2. Dejaremos para más adelante esta demostración, que no es inmediata.

El número $\pi$, que es la cantidad de veces que un diámetro “cabe” en una circunferencia de dicho diámetro, es irracional. Existen muchas demostraciones de este hecho; todas son sumamente difíciles e involucran conceptos de análisis matemático o de teoría de números. La primera demostración de que $\pi$ no es racional fue realizada por el matemático Johann Lambert en 1760.