Lenguaje matemático - EnlaceUBA

2.1 Cómo se argumenta en matemática

¿Cómo saber cuál proposición es verdadera y cuál no? Nosotros no tenemos problema en afirmar que $2$ es menor que $3$, y sabemos que es falso que $-5$ es un número positivo. Pero, ¿por qué? La matemática está construida en base a ciertos axiomas que son “verdades universales” que todos creemos y no se discuten, y cualquier cosa que sea verdadera debe deducirse a partir de esos axiomas. Esta es la manera de determinar si una proposición es o no verdadera. Pero ¿qué significa “deducir”? La deducción es un procedimiento formal con reglas preestablecidas por medio del cual uno obtiene conclusiones a partir de axiomas, supuestos o hipótesis. Es decir, una persona realiza una serie de razonamientos coherentes a partir de lo que sabe para obtener nuevas proposiciones verdaderas. Cada vez que en un texto matemático se afirma la veracidad de una proposición, debe llevarse a cabo la deducción que la valida. Estas deducciones se llaman demostraciones.

.

2.2 Tipos de proposiciones

En matemática, habitualmente se utilizan distintos tipos de proposiciones: proposiciones directas, implicaciones, dobles implicaciones o equivalencias y resultados de existencia.

No es importante saber de qué tipo es una proposición; solo es importante entender qué es lo que afirma la proposición y cómo se plantea una posible demostración.

Veamos algunos ejemplos de proposiciones y sus demostraciones.

.
2.3 Ejemplos de proposiciones

• Teorema 1 (Fuente: Apostol, 1960)
• Teorema 2 (Fuente: Muszkats, J.P. y Pustilnik, I., 2017)
• Teorema 3
• Teorema 4 (Fuente: Marsden, J. y Tromba, A., 1991)

Cabe aclarar que la clasificación de proposiciones no es exhaustiva ni tiene fronteras taxativas, es decir, dada una proposición es difícil si pertenece a una u otra categoría. Por ejemplo, el teorema 4 puede ser considerado una proposición directa o un resultado de existencia.

.

2.4 Otro ejemplo

Cabe aclarar que, una vez que una proposición se ha demostrado, entonces pasa a ser parte de la teoría y puede utilizarse en futuras demostraciones. Las proposiciones demostradas suelen llamarse también resultados.

Muchas veces, las demostraciones están contenidas en un párrafo explicativo previo al enunciado. Por ejemplo:

Fuente: Muszkats, J.P. y Pustilnik, I., 2017.