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Un problema interesante es la llamada conjetura de Collatz (también llamada conjetura $(3n+1)$), planteada en 1937. Tomen un número natural cualquiera; si es par divídanlo por $2$, si es impar multiplíquenlo por $3$ y sumen $1$. Repitan el proceso… Por ejemplo, si tomamos $5$, eso nos conduce a:

$5$

$3 \cdot 5 + 1 = 16$    (triplicamos y sumamos 1 porque 5 es impar)

$16 \text{ }:\text{ }2 = 8$    (dividimos por 2 porque 16 es par)

$4$

$2$

$1$

$4$

$2$

$1...$

Vemos que una vez que llegamos al $1$, se inicia un ciclo periódico $(4, 2, 1)$. ¿Y si comenzamos por otro número? La conjetura establece que no importa qué número tomemos como valor inicial, siempre terminaremos en el ciclo $(4, 2, 1)$.

¿Por qué es una conjetura y no un teorema? Porque aún no se ha logrado demostrar su validez. Hasta donde se ha probado (con números muy grandes) se sigue obteniendo el mismo resultado: $(4, 2, 1)$. Pero no alcanza con probar y probar ya que nunca podríamos garantizar la validez para todos los números naturales, que son infinitos. Muchos matemáticos y matemáticas actuales siguen intentando demostrar la conjetura; entre ellos Terrence Tao, quien realizó avances muy recientemente en 2019.

A continuación te ofrecemos:

• El enunciado y estado actual del problema:  https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Collatz 

• Un video -en inglés- que explica algunos avances sobre la conjetura de Collatz: https://www.youtube.com/watch?v=094y1Z2wpJg 

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Otra conjetura famosa, aún no demostrada, es la llamada conjetura de Goldbach. El matemático Cristian Goldbach postuló en 1742 que todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos.

Por ejemplo, el número $100 = 3 + 97$; $3$ y $97$ son primos, lo que es un ejemplo de la conjetura. ¿Te animás a encontrar la descomposición como suma de dos primos de $120$? ¿Y de $88$?

En este blog de matemática podés encontrar información acerca de esta conjetura: https://www.gaussianos.com/la-conjetura-de-goldbach/ 

Del mismo modo que la conjetura de Collatz, se ha intentado sin éxito demostrar la conjetura de Goldbach. Pero esta última lleva casi tres siglos resistiéndose. ¿Serán demostradas estas conjeturas alguna vez?

Como cierre de esta sección, te proponemos realizar la siguiente autoevaluación:

• Autoevaluación