Lenguaje matemático - EnlaceUBA

Los antiguos babilonios desarrollaron un sistema de escritura llamada cuneiforme. La siguiente tablilla (correspondiente al período 2000-1600 A.C.) contiene textos matemáticos:

Imagen: British Museum

¿De qué habla esta tablilla? Da un problema de matemática: "He sumado el área y el lado de un cuadrado [y he obtenido] $\frac{3}{4}$". La tablilla además da los pasos para resolver el problema y da la solución: el lado del cuadrado mide $\frac{1}{2}$. Los pasos que muestra la tablilla (que no reproduciremos aquí) son semejantes a los pasos intermedios que obtendríamos al aplicar la fórmula resolvente de cuadráticas a la ecuación $x^2 + x = \frac{3}{4}$. Es decir:

$\frac{-1 + \sqrt{1 + 4 \cdot 1 \cdot \frac{3}{4}}}{2}$

Estamos aquí omitiendo la solución negativa de esta ecuación $-\frac{3}{2}$, puesto que los babilonios no conocían los números negativos.

La tablilla no muestra de dónde se obtiene el procedimiento, sino que simplemente lo enuncia y lo utiliza. ¿Cómo podemos demostrar la validez general de la fórmula resolvente?

Demostración.

$ax^2 + bx + c = 0$

Dividimos por $a$ (recordemos que es distinto de 0):

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Multiplicamos y dividimos por 2 el segundo término:

$x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a}x + \frac{c}{a} = 0$

Sumamos y restamos el cuadrado de $\frac{b}{2a}$, es decir $\frac{b^4}{4a^2}$:

$x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a}x + \frac{b^4}{4a^2} + \frac{c}{a} - \frac{b^4}{4a^2} = 0$

Los tres primeros términos son un cuadrado de binomio, de modo que nos queda:

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} - \frac{b^4}{4a^2} = 0$

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^4}{4a^2} - \frac{c}{a}$

Agrupamos:

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

Como el miembro de la derecha no es negativo por hipótesis, extraemos la raíz cuadrada. Debemos usar módulo, lo que luego nos conduce a dos opciones (representadas con el símbolo $\pm$).

$\left| x + \frac{b}{2a} \right| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Despejando $x$ tenemos finalmente:

$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Q.E.D.

Podemos decir que esta demostración es constructiva, ya que la secuencia de pasos permite la construcción en este caso de una fórmula general. Veremos otros tipos de demostraciones en las que aparecerán otras formas de razonamiento.